Infinitesimales

El uso omnipresente de cantidades infinitamente pequeñas en matemáticas se remonta al menos al siglo XVII. A pesar de los continuos escrúpulos en cuanto a su legitimidad y su supuesta eliminación como resultado del profundo movimiento de reforma del siglo XIX, se han seguido utilizando los "infinitesimales", especialmente en matemáticas aplicadas. El lógico Adolf Fraenkel dio lo que sin duda era el punto de vista ampliamente aceptado cuando afirmó: "Lo infinitamente pequeño sólo debe entenderse como una forma de hablar basada en el concepto de límite, posible infinito; se trata de variables ... números o cantidades [positivas] que, en última instancia, pueden disminuir por debajo de cualquier valor positivo arbitrariamente pequeño. No es posible un número fijo [positivo] diferente de cero que pueda servir como límite inferior para todos los valores positivos finitos "(1928, p. 114, mi traducción, énfasis en el original). En 1960, el estudiante de Fraenkel, Abraham Robinson, mostró cómo obtener tal "número fijo" y así reivindicar los desacreditados métodos infinitesimales.

Los beneficios del uso libre de métodos infinitesimales quedaron ampliamente demostrados por el éxito de la versión de Gottfried Wilhelm Leibniz del cálculo diferencial e integral y el uso continuado de estos métodos por Bernoulis y especialmente por Leonhard Euler. Los matemáticos que trabajaban no tenían ninguna dificultad para saber qué propiedades de los números ordinarios se podía suponer que poseían los infinitesimales y cuándo era legítimo equiparar tales cantidades a cero. Pero la falta de una justificación clara para estos métodos proporcionó una oportunidad para ataques mordaces como el de George Berkeley. Los mismos matemáticos sintieron la necesidad de métodos rigurosos y finalmente la suplieron (Edwards 1979, Robinson 1974).

La idea clave de Robinson fue que los métodos de la teoría de modelos podrían usarse para construir una teoría rigurosa y poderosa de los infinitesimales. Así, por ejemplo, podemos considerar un lenguaje de primer orden en el que se proporciona un símbolo constante como un "nombre" para cada número real, un símbolo de función se proporciona como un "nombre" para cada función de valor real definida en el valor real. números, y los únicos símbolos de relación son = y <. Dejar T ser el conjunto de todas las oraciones verdaderas de este idioma cuando se entiende que cada símbolo tiene su interpretación prevista. Sea δ un nuevo símbolo constante y sea W consisten en las oraciones de T junto con el conjunto infinito de oraciones:
δ> 0
δ <1, δ <½, δ <⅓, δ <¼,…
Dado que cualquier subconjunto finito de W puede satisfacerse en los números reales ordinarios al interpretar δ como un número positivo suficientemente pequeño, el teorema de compacidad para la lógica de primer orden garantiza que W tiene un modelo. Pero en ese modelo, el elemento que sirve para interpretar δ debe ser positivo y menor que todo número real positivo (es decir, infinitesimal). La estructura con la que comenzamos de números reales y funciones de valor real puede integrarse fácilmente en el nuevo modelo. Así que si r es un número real y cr es la constante del lenguaje que nombra r, podemos considerar el elemento del nuevo modelo que sirve para interpretar cr tan simplemente r sí mismo. Las funciones se pueden incrustar de la misma manera. Se habla del nuevo modelo como una ampliación.

Por otra parte, porque TW, todas las afirmaciones verdaderas sobre los números reales que se pueden expresar en nuestro idioma también lo son en esta ampliación. Una afirmación falsa sobre los números reales es igualmente falsa en la ampliación: si la afirmación S es falso, entonces ¬ S es una afirmación verdadera sobre los reales y, por tanto, también es verdad en la ampliación. Es este principio de transferencia, el hecho de que los enunciados sean verdaderos acerca de los números reales si y solo si son verdaderos en la nueva estructura ampliada, lo que precisa cuándo una afirmación sobre números ordinarios puede extenderse para aplicarse también a infinitesimales.

La ampliación contendrá elementos tanto infinitesimales como infinitesimales. Esto se ve fácilmente aplicando el principio de transferencia al enunciado de que todo número real distinto de cero tiene un recíproco. Incluso se puede hablar de números enteros infinitos; su existencia sigue al aplicar el principio de transferencia al enunciado de que para cualquier número real dado hay un entero positivo que lo excede.

Los hechos básicos del análisis real pueden establecerse sobre esta base utilizando modos de argumentación que antes hubieran sido considerados ilegítimos con bastante razón. Por ejemplo, el teorema básico de que una función continua en un intervalo cerrado asume un valor máximo se puede demostrar dividiendo el intervalo en un número infinito de subintervalos, cada uno de longitud infinitesimal, y seleccionando un punto final de dicho subintervalo en el que el valor de la función es mayor. (Davis 1977, Robinson 1974). Al comenzar con un lenguaje más extenso, es posible aplicar métodos infinitesimales a las ramas de las matemáticas que requieren una base teórica de conjuntos más sustancial (por ejemplo, topología, análisis funcional, teoría de la probabilidad). Incluso ha resultado posible utilizar estos métodos "no estándar" para resolver ciertas cuestiones abiertas en matemáticas.

Para aquellos con escrúpulos acerca de los métodos no constructivos en matemáticas, estos métodos infinitesimales están destinados a parecer insatisfactorios. Debido a que el lenguaje subyacente se basa en un "alfabeto" incontable, el uso del teorema de la compacidad oculta una aplicación de alguna forma del axioma de elección. Esto a su vez se refleja en una indeterminación básica; podemos establecer la existencia de ampliaciones pero no podemos especificar ninguna ampliación en particular. El propio Robinson ha enfatizado que aunque el análisis no estándar "parece afirmar la existencia de todo tipo de entidades infinitarias", siempre se tiene la opción de tomar el "punto de vista formalista" desde el cual "podemos considerar que lo que hemos hecho es introducir nuevos procedimientos deductivos en lugar de nuevas entidades matemáticas "(1974, p. 282, énfasis en el original).

Véase también Berkeley, George; Leibniz, Gottfried Wilhelm; Lógica, Historia de; Teoría de modelos; Número.

Bibliografía

Davis, M. Análisis no estándar aplicado. Nueva York: Wiley, 1977.

Edwards, CH, Jr. El desarrollo histórico del cálculo. Nueva York: Springer-Verlag, 1979.

Fraenkel, A. Introducción a la teoría de conjuntos, 3ª ed. Berlín: Springer, 1928; reimpresión, Nueva York: Dover, 1946.

Robinson, A. Análisis no estándar, 2ª ed. Ámsterdam, 1974.

Martin Davis (1996)